最近读完刘慈欣的《三体１－３》之后，对有关刘慈欣的文章讨论都非常感兴趣，意外地在百度论坛里发现了这么一个帖子，说是发现了《三体１》中的一处技术硬伤。

　　叶文洁在回电三体星的时候，用红岸天线瞄准初升的太阳时——“红岸天线定位器的十字丝的中心对在它的上缘．这是考虑了电波运行的提前量。”（小说原文）

　　顺带用“三体＋太阳＋提前量”搜索，找到了其他几处对同一问题的讨论，见（1）、（2）。令人惊讶的是，在这些论坛讨论帖中，绝大多数人都同意这是一个 Bug ，即叶文洁不需要调整提前量，直接沿太阳光线射来的方向（即当前肉眼所观测到的方向），直接发射就可以了。有一个简洁的示意图表示这种看法的分析：



　　问题是上述观点是完全错误的，无论是用经典物理的伽利略变换，还是用狭义相对论的洛伦兹变换，最后得出的结果都是需要偏转相应的角度，尽管计算出的角度大小有所区别，但结论是一致的。大刘此处并没有犯常识性的错误，恰恰是这些提出问题的同学，在最基本的坐标系变换理解上出现了偏差。下面我来具体解释一下：

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　　一、批评的观点错在哪里？

　　表面上看来，批评意见似乎是有道理的，从相对于太阳静止的参照系看来，照射到地球某点的光线，和从该点直接返回的光线，的确是处在同一条直线上。但是，两个矢量（在该例中为往返光线）的夹角，在坐标变换中是一个不变量么？

　　 举一个非常简单的例子，第一个参照系看到的正交十字，在另一个以速度v 做相对运动的参照系里，会是什么形状呢？答案很简单，是个斜交叉。矢量夹角是变换不变量么？显然不是。（订正：此处考虑不周，一般空间矢量在伽利略变换下仍然保持不变，但本例中时空矢量的首尾事件是异地不同时，因而夹角会随参照系运动发生变化。谢谢物理专业二毛同学的指正。）

　　值得注意的特殊情况，在一个参照系中夹角为180度（反向重合）的两个矢量，在另一个参照系中也可能不在一条直线上，这种情况是普遍存在的。

　　我们可以先拿低速经典情况下的二维伽利略变换做一个例子：

　　若O´-x´y´参照系沿着x轴方向以速度v相对于O-xy参照系运动，且t=0时两参照系的原点重合，则两参照系之间有如下关系:

x' = x − vt

y' = y

t' = t

　　不失一般性，我们可以把大地假设成平面，不考虑大气折射对光线的影响，设日地垂直距离为 D。取 O-xy 为相对于地球静止的参照系，O'-x´y´ 为相对于太阳静止的参照系。当 t=t'=0 时，太阳光正好直射 O 和 O' 点重合。

　　事件 A：太阳瞬间发射一粒光子
　　x'=0, y=y'=D, t=t'=-D/c, x=-vD/c

　　事件 B：地球恰好在垂直点收到该光子，并瞬间回复
　　x'=x=0 , y=y'=0, t=t'=0

　　事件 C：太阳收到回复光子
　　x'=0, y=y'=D, t=t'=D/c, x=vD/c

　　那么很容易看出，在 O' 坐标系中，入射光线的方程为
　　y' = -ct' , x'=0
　　反射光线的方程则为 ：y' = ct', x'=0

　　这是两条重合但方向相反的矢量，与y轴方向平行。

　　利用伽利略变换转换到 O 坐标系中，可得
　　入射光线的方程：y=-ct, x=vt，消去 t 可得，y=-(v/c)x
　　出射光线的方程：y=ct, x=vt，消去 t 可得，y=(v/c)x
　　这是两条斜率分别为 -v/c 和 v/c 的直线，之间的夹角就是需要偏转的角度。即 tg(θ/2) = v/c

　　所以看到了？这个问题其实一点矛盾都没有，即便不用狭义相对论，也不存在任何矛盾。这些批评同学所犯的错误在于误以为矢量的夹角在坐标变换下是不变量，而上述的推导已经足够说明了：直觉并不可靠，在一个参照系下看到的反向矢量，在另一个参照系看来完全有可能存在偏角。

　　二、狭义相对论里的世界

　　那么，坐标变换的不变量是什么呢？在伽利略变换中，空间距离和时间间隔，都是不变量。也就是说，无论人们采用哪个匀速运动参照系，尽管他们对物体的空间所在位置和时间点的测量结果会出现差异，但他们对物体的长、宽、高，以及时间流逝的间隔，得到的结果是相同的。

　　然而，如果换到狭义相对论的洛伦兹变换中，结果就稍有不同。在狭义相对论力学中，由于各个参照系所观测到的光速必为一恒定常数c，因此空间距离和时间间隔就不再是不变量（我们所熟悉的时间膨胀、长度缩短现象），但在由时间和空间虚轴所组成的闵可夫斯基四维空间中，任意两个事件的四维距离是一个坐标变换不变量。


　　二维平面洛伦兹变换的方程由以下方程给出，

y' = y

　　利用与上述完全相同的计算方式（略），我们可以得到在狭义相对论条件下的偏转角度，sin(θ/2) = v/c

　　三、进一步从直观角度上分析

　　别犯困，有趣的东西在后面。

　　让我们再回到与太阳保持静止的参照系，即批评者指出的图来。有一个非常不易为人察觉的地方导致了批评者所理解的谬误。

　　由于我们假设太阳是静止的，地球是运动的。以这个角度来看，我们就必须考虑“光行差”的概念。即地球上所看到的太阳光线方向，和当时的太阳实际照射方向，有一个相对的夹角，光行差可以由速度叠加的原理解释。在沿EE'方向运动的观察者看来，天体S好像位于S'的方向。


　　这也就是前图中【现在】图的错误，即地球上的观测者，并不能通过与太阳两点连线的方向得知太阳的位置，由于光行差的影响，必须有一个倾斜夹角，而这个夹角在无论在经典力学还是相对论力学中都很容易计算，上面利用伽利略变换和洛伦兹变换得到的结果，正是该角度的两倍。

　　很容易理解，出射方向同样存在反向的光行差，因此这两者的计算结果是等效的。

　　因此在《三体》中，叶文洁调整提前量显然是正确的决定。

　　至于角度的大小，我们也可以粗略进行估算，地球赤道自转线速度v约为465米/秒

　　v/c = 1.55 x (10 ^-6)

　　 sin(θ/2) ~= θ/2 ，则 θ ~= 3.1 x (10 ^-6)

　　而太阳的视直径是 0.5°左右，那么太阳视半径所对应的弧度大约是 4 x (10 ^-3) ，显然远大于 θ，实际上大概叶文洁即便不调整设备，也是问题不大的。

　　值得注意的这个偏折角度是与日地距离无关的，这是最令人惊讶的一部分，但是想想也确实如此，光行差的确和恒星是否遥远没有任何关系。因此，我估计大刘在这里可能犯了一个小小的错误，但是小说里没写明，这还问题不大。

　　然而更惊讶的一件事发生在后面，当我们回过头来研究光行差时，才发现最大的光行差根本不是来自于地球自转，而应是公转，约 10^-4，这才是真正该考虑的地方。

• 周年光行差——地球绕太阳公转造成的光行差，最大可以达到20.5角秒。天文学中定义周年光行差常数（简称光行差常数）为κ=v/c，其中c是光速，v是地球绕太阳公转的平均速度；

• 周日光行差——地球自转造成的光行差，比周年光行差小两个数量级，约为零点几角秒；

　　更有趣的一件事发生了，地球公转运动方向和自转是相同的，都是自西向东，也就是说，自转和公转如果叠加的话，在迎着太阳那面，可就跟单纯考虑自转的方向相反了。（见地球自转公转方向图）

　　说到这里我想聪明的你可能该明白了，叶文洁该向哪边瞄呢……如果考虑清晨的大气折射呢……Anyway，我们说不定可能得出这样一个反直觉的结论，向它的中心向下，反而更准些。

　　谁的结论对呢？批评者认为原向返回显然是不对的，这是根本性的错误。

　　但是大刘，貌似这里也犯了一些方向性和计算上的错误。都是直觉引发的错误。

　　哦，但是，如果大刘真敢直接写向下沿瞄而不加任何注释的话，恐怕更要招致无数人的嘲笑唾骂了。不过，从上面的分析我们说不定可以鼓起勇气说那个结论——你自己说吧，该往哪儿瞄？ ：） （别急，我已经等着有人扔臭鸡蛋来了……）

　　谢谢您的阅读，欢迎对我上面的结果进行讨论。也希望通过这篇小文，不至于吓跑您，也不会打消您对物理和科幻的兴趣。

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延伸阅读科幻小说：

• 三体 （刘慈欣著）
  
• 三体Ⅱ·黑暗森林 （刘慈欣著）

　　今天偶然看到一桩“河南农民8个月偷逃过路费368万获无期徒刑”的报道，在2008年5月4日至2009年1月1日，两辆车共计通行2361次，合计逃费金额为人民币368.2万余元，而拉沙仅挣到20。第一眼看完感觉这事很荒谬，不少网友也在跟帖中表示了对事件中涉及高速公路“天价”收费金额的不可理解，网易跟帖中的一些典型评论：

• 拉沙挣了20万，如果要正常交路费的话，要倒亏348万，这个是什么社会？
• 3680000/2361=1558.66元/次，多远的地方拉沙石，油费都不够。

　　不过从常识考虑，既然这些数字已写在了法院搜集的证词和判决中，被告又没有对这些数字有任何疑问和上诉，那么这些数字本身应该不会有太大的偏差。那么，是否我们的第一感直觉有问题呢？

　　从这个疑问出发，我从网上找到了2007年起开始颁布实行的“河南省高速公路载货类汽车计重收费实施办法”，从中找到了一些重要的条款来支持这些数字的计算。简要来说：

　　1 、高速公路和封闭式收费公路的基本费率标准以元 / 吨公里计，基本费率以 0.09 元 / 吨公里为基准费率。

　　2 、正常装载情况下的收费标准：车货总质量小于或等 15 吨的车辆按基本费率计收；15 吨至 49 吨的车辆，15 吨及以下部分按基本费率计收，15 吨以上部分按 0.04 元 / 吨公里计收。

　　3 、超过公路承载能力车辆的收费标准：

　　（1）车货总质量中符合公路承载能力认定标准的重量部分暂按正常装载收费标准计收；
　　（2）超载 30% ~100%的重量部分，暂按基本费率的 3 倍线性递增至 5 倍计重收取车辆通行费；
　　（3）超载100%以上的重量部分暂按基本费率的 5 倍计重收取车辆通行费。


　　那么我们根据这个案件中提到的25吨核重和超载150%的认定，可以计算出每公里该车的费用。

　　15*0.09 + 10*0.04 + 7.5*0.09 + 17.5*0.09*4 + 12.5*0.09*5 = 14.35 元/公里

　　通过 Google 地图我们可以分别查到鲁山下汤至许昌长葛、下汤到禹州这两条线路的收费路段距离，均包含郑石高速一段距离 86.8 公里的高速收费路段。按文中提到2361次计算，

　　2361 * 86.8 * 14.35 ~= 294 万元

　　考虑到实际路途的收费长度一般都高于地图数据，所以文中所提到的总计368.2万余元应该差别不大。同时文中提到“2008年5月4日至2009年1月1日”，共通行2361次，平均每日约10次，亦符合文中提到每天两辆车跑两三趟（共计8~12次）的描述。（注：上述数据仅根据第一次新闻报道估算，与实际数字略有出入，经进一步了解，该车的超载仅发生在单向，而非往返，但超载程度远超本文 150% 的估算，甚至达到了 200%，因此总金额更多。见后“相关阅读”）

　　综合以上的计算，我认为该新闻的报道数据基本属实，唯一可商榷的一点在于高速公路管理部门对于该车超载程度150%的认定，如果这个数据误差不大的话，总计逃费金额368.2万余元便是一个基本可信的数字。

　　然而对比该农民仅通过拉沙挣到了20万，不由得让人产生了又一个困惑：为什么会有这样的天价收费？到底这个收费合理不合理？

　　我认为这个费用首先主要来自于超载。从上面的计算公式可以看出，如果货车不超载，或者仅超载30%以下，那么每公里的费用相对并没有那么高，取上面公式的前三项仅得 2.425元/公里，和最终的结果相去甚远。也就是说，如果该农民不超载这么多，最后的逃费总量也就会降到几十万元的相对“合理”区间，而不至于对应量刑中所依据的“数额特别巨大”条件，从而也不至于导致无期徒刑的后果。

　　那么，对超载车辆，尤其是超过100%以上的重型超载车辆课以数倍的费用比率，是不是就能杜绝严重超载现象呢？

　　很显然这是不够的，因为这不完全是一个市场调节行为，在某些情况下会失灵。

　　假如货车里运的是利润极高的物品，即便是对超载的惩罚额度再高，整体算下来仍然有赚头，那么贪利的人仍然还会选择超载，直到无法装得更多、或者边际利润为零为止。

　　又比如本案，特权车辆交通费用为零，价格杠杆也管不到这个角落。

　　因此，即便是采用了计重计费方式，也无法完全杜绝严重超载的现象。

　　在高速上100%以上的超载意味着什么呢？不常开车的朋友可能没有相关方面的经验，以我自己数年的驾车经验，高速上最可怕的杀手就是那些严重超载的长途货车，而且还常常开得飞快。这些开长途的大货司机大多是疲劳驾驶，满脑子就是多拉快跑，车况本身就很差，有的车体严重歪斜，轮胎不平衡，有的装货超长超宽超高，不少连尾灯都不齐。车辆在超载情况下，刹车制动性能会受到极大影响，一旦速度提起来后，就像一匹脱缰的野兽，尤其处在并线和弯道时候，对后面的车就是一场噩梦，稍有不慎就会酿成大祸。因此我自己上高速，除了开稳之外，离“大货”（大祸）远一点也是必须牢记的常识。

　　但很遗憾的是，我们又无法避免在高速上严重超载的大货——现如今由于油价上涨，交通费用急剧上升，司机如果不多拉快跑，一趟长途跑下来，刨掉交通费、燃油、汽修、人员等相关费用，搞不好还要成负值。因此严重超载也便成了无奈之举，为了不亏本，不得不超载。要么，就琢磨各种邪门歪道省掉其他的费用，本案中提到的，就是这么一位企图假冒军车牌省掉高速交通费的例子，虽然仅仅是为了去挣那区区20万元。

　　归根结底我们希望什么？我们希望有一个安全有序的行车环境。在合理计重收费的基础上，应该严格限定一个上限，超出此上限的货车，就将视为严重超载，绝不能允许它上高速——无论它是否可以支付更多的金钱，还是有其他特权，这种事情绝对不允许发生。没有什么事情比安全更重要，严重超载的大货一定要赶到其他线路上去，而不能任由它在高速路上撒野。

　　至于本案中的假冒军车牌是否涉嫌诈骗判无期徒刑，在我看来这方面认定的讨论尚在其次，如果能够杜绝严重超载的车辆上高速，那么即使是本案同样的案情，最终也不会落得一个巨额诈骗罪被判处无期徒刑的结果了。

　　我个人观点的总结：首先要严格禁止严重超载的车辆上高速，然后才谈得上讨论高速费率和计重收费模式问题。 这两个顺序不能对调，否则先解决了后者，高速收费便宜了，那些超载车辆难道不会一窝蜂上高速么？ 至于其他的：高速收费本身是否合理、逃费最高该不该判无期，那都是次要问题。无论后面的这些问题是什么博弈结果，第一个问题才是需要先解决的，而且也是可以脱离其他问题独立解决的。不少与此事件有关的新闻评论纷纷将目光集中在后面问题的泛化讨论上，在我看来这无助于问题的根本解决。

　　以一个较小的代价换得一类问题的妥善解决，这是我所希望见到的，也希望高速管理有关部门不要只盯着如何罚款如何创收，能更多从源头上考虑如何解决高速行车的环境问题，以人为本，珍惜生命。

此案追踪进展：

• 河南回应368万过路费计算方法“天价”质疑
• 河南逃368万过路费案将重审
• 时建锋弟弟时军峰自首，称哥哥系为自己顶罪，曾行贿有关人员
• 一审4人被问责 主审法官被免职，河南省高院：建议检察院撤回起诉
• 时建峰案收费站正副站长现身 否认牵连称是污蔑
• 收费站正副站长否认收钱，中间人唐某承认收了45万元去“活动”
• 时建锋忠厚老实家庭穷困，20年只攒下2万元
• 天价过路费案时家兄弟军牌生意是利益链最低端
  
• 河南高速路逃费案“罗生门”
• 天价过路费案《三联周刊》调查：时军锋出示与武警支队合同
• 天价过路费案嫌犯提供与武警支队所签合同
  
• 河南天价过路费案疑犯投案未被认定自首
  
• 河南天价过路费案疑犯时军锋申请异地受审
  
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