最近读完刘慈欣的《三体１－３》之后，对有关刘慈欣的文章讨论都非常感兴趣，意外地在百度论坛里发现了这么一个帖子，说是发现了《三体１》中的一处技术硬伤。

　　叶文洁在回电三体星的时候，用红岸天线瞄准初升的太阳时——“红岸天线定位器的十字丝的中心对在它的上缘．这是考虑了电波运行的提前量。”（小说原文）

　　顺带用“三体＋太阳＋提前量”搜索，找到了其他几处对同一问题的讨论，见（1）、（2）。令人惊讶的是，在这些论坛讨论帖中，绝大多数人都同意这是一个 Bug ，即叶文洁不需要调整提前量，直接沿太阳光线射来的方向（即当前肉眼所观测到的方向），直接发射就可以了。有一个简洁的示意图表示这种看法的分析：



　　问题是上述观点是完全错误的，无论是用经典物理的伽利略变换，还是用狭义相对论的洛伦兹变换，最后得出的结果都是需要偏转相应的角度，尽管计算出的角度大小有所区别，但结论是一致的。大刘此处并没有犯常识性的错误，恰恰是这些提出问题的同学，在最基本的坐标系变换理解上出现了偏差。下面我来具体解释一下：

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　　一、批评的观点错在哪里？

　　表面上看来，批评意见似乎是有道理的，从相对于太阳静止的参照系看来，照射到地球某点的光线，和从该点直接返回的光线，的确是处在同一条直线上。但是，两个矢量（在该例中为往返光线）的夹角，在坐标变换中是一个不变量么？

　　 举一个非常简单的例子，第一个参照系看到的正交十字，在另一个以速度v 做相对运动的参照系里，会是什么形状呢？答案很简单，是个斜交叉。矢量夹角是变换不变量么？显然不是。（订正：此处考虑不周，一般空间矢量在伽利略变换下仍然保持不变，但本例中时空矢量的首尾事件是异地不同时，因而夹角会随参照系运动发生变化。谢谢物理专业二毛同学的指正。）

　　值得注意的特殊情况，在一个参照系中夹角为180度（反向重合）的两个矢量，在另一个参照系中也可能不在一条直线上，这种情况是普遍存在的。

　　我们可以先拿低速经典情况下的二维伽利略变换做一个例子：

　　若O´-x´y´参照系沿着x轴方向以速度v相对于O-xy参照系运动，且t=0时两参照系的原点重合，则两参照系之间有如下关系:

x' = x − vt

y' = y

t' = t

　　不失一般性，我们可以把大地假设成平面，不考虑大气折射对光线的影响，设日地垂直距离为 D。取 O-xy 为相对于地球静止的参照系，O'-x´y´ 为相对于太阳静止的参照系。当 t=t'=0 时，太阳光正好直射 O 和 O' 点重合。

　　事件 A：太阳瞬间发射一粒光子
　　x'=0, y=y'=D, t=t'=-D/c, x=-vD/c

　　事件 B：地球恰好在垂直点收到该光子，并瞬间回复
　　x'=x=0 , y=y'=0, t=t'=0

　　事件 C：太阳收到回复光子
　　x'=0, y=y'=D, t=t'=D/c, x=vD/c

　　那么很容易看出，在 O' 坐标系中，入射光线的方程为
　　y' = -ct' , x'=0
　　反射光线的方程则为 ：y' = ct', x'=0

　　这是两条重合但方向相反的矢量，与y轴方向平行。

　　利用伽利略变换转换到 O 坐标系中，可得
　　入射光线的方程：y=-ct, x=vt，消去 t 可得，y=-(v/c)x
　　出射光线的方程：y=ct, x=vt，消去 t 可得，y=(v/c)x
　　这是两条斜率分别为 -v/c 和 v/c 的直线，之间的夹角就是需要偏转的角度。即 tg(θ/2) = v/c

　　所以看到了？这个问题其实一点矛盾都没有，即便不用狭义相对论，也不存在任何矛盾。这些批评同学所犯的错误在于误以为矢量的夹角在坐标变换下是不变量，而上述的推导已经足够说明了：直觉并不可靠，在一个参照系下看到的反向矢量，在另一个参照系看来完全有可能存在偏角。

　　二、狭义相对论里的世界

　　那么，坐标变换的不变量是什么呢？在伽利略变换中，空间距离和时间间隔，都是不变量。也就是说，无论人们采用哪个匀速运动参照系，尽管他们对物体的空间所在位置和时间点的测量结果会出现差异，但他们对物体的长、宽、高，以及时间流逝的间隔，得到的结果是相同的。

　　然而，如果换到狭义相对论的洛伦兹变换中，结果就稍有不同。在狭义相对论力学中，由于各个参照系所观测到的光速必为一恒定常数c，因此空间距离和时间间隔就不再是不变量（我们所熟悉的时间膨胀、长度缩短现象），但在由时间和空间虚轴所组成的闵可夫斯基四维空间中，任意两个事件的四维距离是一个坐标变换不变量。


　　二维平面洛伦兹变换的方程由以下方程给出，

y' = y

　　利用与上述完全相同的计算方式（略），我们可以得到在狭义相对论条件下的偏转角度，sin(θ/2) = v/c

　　三、进一步从直观角度上分析

　　别犯困，有趣的东西在后面。

　　让我们再回到与太阳保持静止的参照系，即批评者指出的图来。有一个非常不易为人察觉的地方导致了批评者所理解的谬误。

　　由于我们假设太阳是静止的，地球是运动的。以这个角度来看，我们就必须考虑“光行差”的概念。即地球上所看到的太阳光线方向，和当时的太阳实际照射方向，有一个相对的夹角，光行差可以由速度叠加的原理解释。在沿EE'方向运动的观察者看来，天体S好像位于S'的方向。


　　这也就是前图中【现在】图的错误，即地球上的观测者，并不能通过与太阳两点连线的方向得知太阳的位置，由于光行差的影响，必须有一个倾斜夹角，而这个夹角在无论在经典力学还是相对论力学中都很容易计算，上面利用伽利略变换和洛伦兹变换得到的结果，正是该角度的两倍。

　　很容易理解，出射方向同样存在反向的光行差，因此这两者的计算结果是等效的。

　　因此在《三体》中，叶文洁调整提前量显然是正确的决定。

　　至于角度的大小，我们也可以粗略进行估算，地球赤道自转线速度v约为465米/秒

　　v/c = 1.55 x (10 ^-6)

　　 sin(θ/2) ~= θ/2 ，则 θ ~= 3.1 x (10 ^-6)

　　而太阳的视直径是 0.5°左右，那么太阳视半径所对应的弧度大约是 4 x (10 ^-3) ，显然远大于 θ，实际上大概叶文洁即便不调整设备，也是问题不大的。

　　值得注意的这个偏折角度是与日地距离无关的，这是最令人惊讶的一部分，但是想想也确实如此，光行差的确和恒星是否遥远没有任何关系。因此，我估计大刘在这里可能犯了一个小小的错误，但是小说里没写明，这还问题不大。

　　然而更惊讶的一件事发生在后面，当我们回过头来研究光行差时，才发现最大的光行差根本不是来自于地球自转，而应是公转，约 10^-4，这才是真正该考虑的地方。

• 周年光行差——地球绕太阳公转造成的光行差，最大可以达到20.5角秒。天文学中定义周年光行差常数（简称光行差常数）为κ=v/c，其中c是光速，v是地球绕太阳公转的平均速度；

• 周日光行差——地球自转造成的光行差，比周年光行差小两个数量级，约为零点几角秒；

　　更有趣的一件事发生了，地球公转运动方向和自转是相同的，都是自西向东，也就是说，自转和公转如果叠加的话，在迎着太阳那面，可就跟单纯考虑自转的方向相反了。（见地球自转公转方向图）

　　说到这里我想聪明的你可能该明白了，叶文洁该向哪边瞄呢……如果考虑清晨的大气折射呢……Anyway，我们说不定可能得出这样一个反直觉的结论，向它的中心向下，反而更准些。

　　谁的结论对呢？批评者认为原向返回显然是不对的，这是根本性的错误。

　　但是大刘，貌似这里也犯了一些方向性和计算上的错误。都是直觉引发的错误。

　　哦，但是，如果大刘真敢直接写向下沿瞄而不加任何注释的话，恐怕更要招致无数人的嘲笑唾骂了。不过，从上面的分析我们说不定可以鼓起勇气说那个结论——你自己说吧，该往哪儿瞄？ ：） （别急，我已经等着有人扔臭鸡蛋来了……）

　　谢谢您的阅读，欢迎对我上面的结果进行讨论。也希望通过这篇小文，不至于吓跑您，也不会打消您对物理和科幻的兴趣。

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延伸阅读科幻小说：

• 三体 （刘慈欣著）
  
• 三体Ⅱ·黑暗森林 （刘慈欣著）