题记：昔本科期间，选修《现代数学引论》，开篇集合论，顿感惊世骇俗。后数年，读《数学：确定性的丧失》、《古今数学思想》、《集异壁》等巨著，闻上世纪初，希尔伯特主持数学界公理化运动，以康托的集合论和逻辑为本，重塑数学根基，犹人世之再造巴别塔，擎天之力，壮则壮矣，不想有哥德尔一纸檄文，万丈基石摇摇欲坠，“人力终难胜天，人力有时而穷”，此言谓之，不亦宜乎？故后惶惶不知何谓数学，虚根之木居然成林，果实殷殷，称其为“宇宙的语言”、“上帝的文字”，戏哉？幻哉？

　　第三次数学危机源自康托始，罗素悖论生疑，希尔伯特雄心壮志，哥德尔作结，逻辑实证主义让位于证伪主义。数学亦从先验神坛走下，回归自然科学范畴的行列。“数学为何如此有用？”，“数学是否仍然有用？”此世代天问，或终无答案，或归为演化之功。然寻其求索，人力之不断寻求突破攀升，无限趋近真理之过程，亦成感人传奇。古往今来，凡在智识领域不畏艰辛，擘荆奠基之智士，当为后人敬仰缅怀。



　　谨以陆续填就的三阕词，敬奉数学史上堪称伟大传奇的“无穷统帅”——康托。

　　“数学的本质在于它的自由” —— 康托

　　摘自“维基百科”对康托一生成就的简介：康托创立了现代集合论作为实数理论以至整个微积分理论体系的基础。康托提出了通过一一对应的方法对无穷集合的大小进行比较，并将能够彼此建立一一对应的集合称为等势，即可以被认为是“一样大”的。他引入了可数无穷的概念，用来指与自然数集合等势的集合，并证明了有理数集合是可数无穷，而实数集合不是可数无穷，这表明无穷集合的确存在着不同的大小，他称与实数等势（从而不是可数无穷）的集合为不可数无穷。原始证明发表于1874年，这个证明使用了较为复杂的归纳反证法。1891年他用对角线法重新证明了这个定理。另外，他证明了代数数集合是可数集，以及n维空间与一维空间之间存在一一对应。在上述理论的基础上，康托又系统地研究了序数理论，提出了良序定理，即可以给任何集合内的所有元素定义一个大小关系，使得任意两个元素都可以比较大小，且该集合的任意子集都有最小元素。康托晚年致力于证明他自己提出的连续统假设，即任意实数的无穷集合或者是可数无穷或者是不可数无穷，二者必居其一，但没有成功。


一、《长相思·康托无穷集合》

　　线势同，面势同。怪论奇谈集合疯。康公托海龙。
　　实无穷，潜无穷。极纵飞腾阶跃空。两重人力终。

自注：

　　（1）线势、面势：集合论中，集合所包含的元素「个数」，称为集合的基数或势。线势，一条线上点元素的个数；面势，一个面上点元素的个数。在无穷集合论中，此两者可以构架一一对应的关系，故称两者等势。

　　（2）怪论奇谈集合疯：康托所创立的现代集合论，以势和序的概念研究无穷集合，在当时被传统数学界认为天方夜谭，研究成果得不到认可，并受到以利奥波德·克罗内克为首的众多数学家的长期攻击，患抑郁症，最后精神失常。

　　（3）托海龙：喻康托无穷集合论的高瞻远瞩、伟大。当代数学家绝大多数接受康托的理论，并认为这是数学史上一次重要的变革。大卫·希尔伯特说：“没有人能够把我们从康托建立的乐园中赶出去。”

　　（4）实无穷，潜无穷：数学界始终存在的潜无穷与实无穷之争。受古希腊亚里士多德哲学思想的影响，康托之前的数学家大多只接受潜无穷的概念，即把无限看作永远在延伸着的，一种变化着成长着被不断产生出来的东西来解释。它永远处在构造中，永远完成不了，是潜在的，而不是实在；而源自柏拉图的实无穷观点则把无限的整体本身作为一个现成的单位，是已经构造完成了的东西，换言之，即是把无限对象看成为可以自我完成的过程或无穷整体。康托的无穷集合论则建立在实无穷的基础上。

　　（5）阶跃空：利用选择公理，康托可以构建无穷集合的所有子集合的集合。新集合的势为原集合势以2为底的幂。可定义阿列夫数列表示这些无穷集合的势，第零级（阿列夫零）对应自然数集合（可数集），第一级（阿列夫壹）对应实数集合（不可数集），依次类推无穷尽。康托并在此基础上提出了连续统假设，“不存在一个势绝对大于可数集而绝对小于实数集的集合”，该假设为希尔伯特23个问题的第一个问题，迄今为止仍只有部分解决（亦包括哥德尔在内的数学家认为此假设是错误的）。在此基础上的“广义连续统假设”进一步假设所有相邻的阿列夫数之间都不存在对应的集合。故称“阶跃空”。

　　（6）两重人力终：尽管阿列夫数列在理论上可以向上无限构造扩展，但现实生活中却找不到实际对应的集合例子，数学家将泛函集合（即所有函数的集合）归纳对应为阿列夫贰，故称人力终。此处含赞誉康托的无穷集合论超凡惊世、人力所不能及之意。

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二、《相见欢·咏康托》

　　天纵奇思无穷，拓疆功。毕拾纤毫判势序西东。
　　竭心智，驱魑魅，解倥侗。嗟叹圣贤寂寞老来疯。

自注：

　　（1）势、序：康托首创的集合势和序的概念，势相当于集合内元素的个数，序相当于集合内元素排列的顺序。
　　（2）驱魑魅：喻康托创立无穷集合论时不被世人认可，孤军奋战、保卫新学科的艰辛。
　　（3）倥侗：音“空童”，愚昧无知。
　　（4）圣贤寂寞老来疯：由于研究成果得不到认可，并受到以利奥波德·克罗内克为首的众多数学家的长期攻击，过度疲劳和激烈的争吵论战，使得康托不堪重负，39岁开始精神失常。康托晚年致力于证明他自己提出的连续统假设，但没有成功。最终于1918年，在德国哈勒大学附属精神病院去世。

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三、《念奴娇·无穷旅馆》

　　无穷旅馆，恰厅房正满，有客停驻。
　　早有妙方、移次第，闲空数间安户。
　　试问明朝，无穷商队，何策来不拒？
　　已居挪倍，笑迎宾至榻处。

　　是以知晓玄机，集分大小，逐对关联数。
　　父子势同、奇并偶，亦本寻凡常故。
　　衍转相生，聚齐子脉，翻作无穷愈。
　　潜龙出海，绝尘奔逸不顾。

自注：

　　（1）无穷旅馆：见“希尔伯特无穷旅馆”悖论。
　　（2）逐对关联：指康托在朴素集合论中首创的“势”的概念。通过一一对应的方法对无穷集合的大小进行比较，并将能够彼此建立一一对应的集合称为等势，即可以被认为是“一样大”。
　　（3）父子势同、奇并偶：无穷集合必然存在真子集与其等势，这是无穷集合的特征之一。在“无穷旅馆”例子中，所有整数的集合，与所有偶数（或所有奇数）的集合等势，尽管这二者是整体与部分的关系。
　　（4）“衍转相生”句：根据选择公理，可以将集合的所有子集形成新的集合，这样可以构造一系列愈来愈大、永无穷尽的无穷集合，每一个集合势为前一个集合势以2为底的幂。
　　（5）潜龙出海：喻“潜无穷”到“实无穷”的转化。潜无穷观点，将无穷看作永远在延伸着的，一种变化着成长着被不断产生出来的东西来解释。它永远处在构造中，永远完成不了，是潜在的，而不是实在。康托的集合论则将无穷视为真实存在的客体加以研究讨论，属于“实无穷”的范畴。
　　（6）绝尘奔逸：奔逸，疾驰；绝尘，脚不沾尘土。形容走得极快。也形容人才十分出众，无人企及。《庄子·田子方》:“夫子奔逸绝尘，而回瞠若乎其后矣。”

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　　最后，让我们引用几位大数学家对康托尔的评论作为本文的结尾。1926年，希尔伯特称康托提出的超穷数理论，是“数学思想最惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一”，“数学精神最令人惊羡的花朵，人类理智活动最漂亮的成果”．罗素把康托的工作描述为“可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作”。苏联著名的数学家A．N．科尔莫戈洛夫(Kolmogorov)说过：“康托尔的不朽功绩，在他敢于向无穷大冒险迈进，他对似是而非之论、流行的成见，哲学的教条等作了长期不懈的斗争，由此使他成为一门新学科的创造者．这门学科(指集合论)今天已经成了整个数学的基础。”