背景：17世纪晚期，形成了微积分这门学科。牛顿和莱布尼兹被公认为微积分的奠基者，他们的功绩主要在于：把各种有关问题的解法统一成微分法和积分法；有明确的计算步骤；微分法和积分法互为逆运算。由于运算的完整性和应用的广泛性，微积分成为当时解决问题的重要工具。

　　然而在微积分大范围应用的同时，关于微积分基础的问题也越来越严重。关键问题就是无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论，造成了第二次数学危机。



　　直到19世纪20年代，一些数学家才比较关注于微积分的严格基础。从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里赫利等人的工作开始，到魏尔斯特拉斯、狄德金和康托的工作结束，中间经历了半个多世纪，基本上解决了矛盾，为数学分析奠定了一个严格的基础。

　　本阕的有关内容到柯西和魏尔斯特拉斯止，只述各有其功，严密化工作非一人之力，对文中数学巨匠无褒贬之意，观者自知。推荐对数学史感兴趣的朋友阅读克莱因的《数学：确定性的丧失》和《古今数学思想》。



　　《沁园春·第二次数学危机》

　　流数微积，当日窥瞥，上帝之书。
　　定无穷小量，渐趋形隐，微分算子，不惧零除。
　　推演相生，无穷级数，力擘天穹拔畏途。
　　高楼立，惜追源溯本，纷乱还殊。

　　飞台悬阁将扶，柯西引，缀修魏氏趋。
　　讶可微连续，不相牵涉，散发收敛，必较锱铢。
　　拉普拉斯，天骄巨匠，对此惊闻亦蹴躇。
　　倘早识，纵莱哲牛圣，弃笔当初。

自注：

　　（1）第二次数学危机：指发生在十七、十八世纪，围绕微积分诞生初期的
基础定义展开的一场争论，这场危机最终完善了微积分的定义和与实数相关的
理论系统，同时基本解决了第一次数学危机的关于无穷计算的连续性的问题，
并且将微积分的应用推向了所有与数学相关的学科中。

　　（2）上帝之书：伽利略曾言，“数学是上帝用来书写宇宙的文字”。

　　（3）“无穷小量”句，指牛顿的方法；“微分算子”句，指莱布尼茨的方法。

　　（4）“力搫天穹”句：指由微积分基础上创建起来的牛顿力学，在天体力学以及其他各领域的跨时代发展。

　　（5）柯西、魏氏：指从柯西开始以极限定义严密化微积分基本概念的尝试，
魏尔斯特拉斯后续完善补足了柯西的工作。

　　（6）“可微连续”句：可微（可求导数）一定连续，连续则不一定可微，
魏尔斯特拉斯甚至曾经构造出一个处处连续、但是处处不可微的函数（可说是最早
提出的分形函数），颠覆了传统数学界对于连续和可微的观念，震惊了数学界。

　　（7）“散发收敛”句：自牛顿开始，柯西之前的数学家广泛随意使用无穷级数计算数值，并取得了巨大成功。但无穷级数（尤其是发散无穷级数）求和的结果是否有效，数学界始终存在着争议。柯西提出了无穷级数收敛以及一致收敛的判定标准，开始解决此类问题。

　　（8）“拉普拉斯”句：相传在一次科学会议上，柯西提出了级数收敛性的理论。著名 数学家拉普拉斯听过后非常紧张，便急忙赶回家，闭门不出，直到对他的《天体力学》中所用到的每一级数都核实过是收敛的以后，才松了口气。

　　（9）蹴躇：音“促除”，踌躇，犹豫。

　　（10）莱哲牛圣：指莱布尼茨和牛顿。